[2016년 운정고]

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[2학년 1학기 중간 미적분1]

급수 [eqn: sum_n=1 ^inf (x^2 -4)left(x-1 over2 right)^n]이 수렴하도록 하는 정수 [eqn: x]의 개수는? [3.8점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

모든 항이 양수인 두 수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{b_n right]이 다음 조건을 만족한다.

[eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n} +b _{n}} over {2(a _{n} -b _{n})}}]의 값은? [3.6점]

(가) [eqn: lim _{n -> INF } {a_n overn = 3over4}]

(나) [eqn: 3n^2 overn+1 <a_n +b_n <{3n^2 +2 }overn]

②

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 3over4]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

수열 [eqn: left{a_n right]에 대하여 [eqn: lim_n->inf {left(4overk right)^n a_n}over {left( 3overk right)^n +2]이 [eqn: 0]이 아닌 상수일 때,
[eqn: b_k =lim_n->inf a_n+1 overa_n]이라 하자. [eqn: sum _k=1^5 b_k]의 값은? (단, [eqn: k]는 상수) [3.6점]

⑤

① [eqn: 7over2]	② [eqn: 15over4]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 17over4]	⑤ [eqn: 9over2]

두 수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{b_n right]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [3.7점]

①

ㄱ. 수열 [eqn: left{a_n right]이 수렴하고 수열 [eqn: left{a_n b_n right]이

발산하면 [eqn: left{b_n right]은 발산한다.

ㄴ. 두 수열 [eqn: left{a_n^2 -b_n ^2 right], [eqn: left{a_n -b_n right]이 각각 수렴하면

수열 [eqn: left{a_n right]은 수렴한다.

ㄷ. 수열 [eqn: left{a_n right]이 수렴하고 [eqn: lim_n->inf a_n^2 =lim_n->inf (2a_n -1)]이면

[eqn: lim_n->inf a_n =-1]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 제[eqn: 1]사분면에서 직선 [eqn: y=kx]와 직선 [eqn: y=n-kx], [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: a_n], 수열 [eqn: left{a_n right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자.
[eqn: lim _n->inf 36k over{n^3 +2n }S_n]의 값은? (단, [eqn: k]는 [eqn: 0]보다 큰 상수) [3.8점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

보기에서 수렴하는 급수만을 있는 대로 고른 것은? [3.7점]

④

ㄱ. [eqn: sum_n=2 ^inf log left(1 - 1over n^2 right)]

ㄴ. 등비급수 [eqn: sum_n-1 ^inf r^n]이 수렴할 때, [eqn: sum_n=1 ^inf left( {r-1}over2 right)^n]

ㄷ. [eqn: {1} over {2} + {1+3} over {2+4} + {1+3+5} over {2+4+6} + CDOTS + {1+3+5+ CDOTS +2n-1} over {2+4+6+ CDOTS +2n} + CDOTS]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: left{a_n right]에 대하여 [eqn: sum _n=1^inf (3a_n -b_n ) =3], [eqn: lim _{n->inf} {b_n}=1]일 때, [eqn: lim _n->inf a_n]의 값은? [3.7점]

②

① [eqn: 0]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 2over3]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 4over3]

그림과 같이 제[eqn: 1]사분면에 있는 원 [eqn: x^2 +y^2 =k^2] 위의 점
[eqn: {RMP}( k over root2,```k overroot2 )]에서의 접선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 삼각형의 둘레의 길이를 [eqn: l(k)], 넓이를 [eqn: S(k)]라 하자. [eqn: lim_k->inf k l(k)overS(k)]의 값은? [4.0점]

④

① [eqn: 1+root2]	② [eqn: 1+2root2]	③ [eqn: 2+root2]

④ [eqn: 2+2root2]	⑤ [eqn: 3root2]

두 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프의 일부가 다음과 같고
[eqn: lim_x->0 ``g(f(x))=a], [eqn: lim _x->0+ f(g(x))=b], [eqn: lim_t->-inf f left(1-t over1+t right) =c]일 때,
[eqn: a+b+c]의 값은? [3.8점]

④

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim_x->inf f(x)over{x^2 -1} =2], [eqn: lim _{x -> -1} {} {f(x)} over {x ^{2} -1} =3]
일 때, [eqn: lim_x->1 ``f(x)]의 값은? [3.6점]

⑤

① [eqn: 4]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -4]

연속함수 [eqn: f(x)]가 모든 정수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

방정식 [eqn: f(x)=0]은 열린구간 [eqn: (-5,```5)]에서 적어도 [eqn: k`]개의 실근을 가진다. 이 때 자연수 [eqn: k]의 최댓값은? [3.6점]

(가) [eqn: f(2n)=1]

(나) [eqn: f(2n-1)=-1]

③

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

함수 [eqn: f(x)=cases {{x^2 -1}over |x-1| &```(x!=1) # a &```(x=1)]일 때, [eqn: g(x)f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이 되도록 하는 다항식 [eqn: g(x)]가 될 수 없는 것은? [4.0점]

⑤

① [eqn: x^2 -1]	② [eqn: x^2 -3x +2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: x^2 +x-2]	⑤ [eqn: x^2 -x-2]

모든 실수 [eqn: x]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.0점]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f(x+3)]

(나) [eqn: -2leqx leq1]일 때,

[eqn: f(x)=cases{ax+b & (-2leqx le -1) #x- |x| &(-1<x leq1)]

②

ㄱ. [eqn: a=-1], [eqn: b=-2]

ㄴ. [eqn: lim_x->a f(x)=0]

ㄷ. [eqn: lim_x->b f(x)=f(3)]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)=3x^2 -8x+3]에 대하여 [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: 3]까지 변할 때의 평균변화율과 [eqn: x=a]에서의 미분계수가 같을 때, 상수 [eqn: a]값은? [3.6점]

①

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 [eqn: lim_x->1 {f(x)-2}overx-1 =2], [eqn: lim _x->1 {{g(x)-3}overx-1 =2]을 만족시킬 때, 함수 [eqn: h(x)=f(x)g(x)]의 [eqn: x=1]에서의 미분계수를 구하면? [3.7점]

①

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대해 [eqn: lim_x->2 {{f(x+2)-2}over{x^2 -4} =6]일 때,
[eqn: f'(4)-f(4)]의 값은? [3.8점]

②

① [eqn: 21]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 23]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

서술형

아래의 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: {RMA}_1{RMB}_1 {RMC}_1{RMD}_1]의 두 대각선의 교점 [eqn: RMO]를 잡아 두 삼각형 [eqn: RMA_1 OB_1], [eqn: RMC_1 OD_1]에 각각 내접하는 원을 그리고, 두 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자. 그림 [eqn: R_1]에서 두 삼각형 [eqn: RMA_1 OD_1]과 [eqn: RMB_1 OC_1]에 내접하는 정사각형을 각 [eqn: RMA_2 B_2 C_2 D_2], [eqn: RMA'_2 B'_2 C'_2 D'_2]를 그리고, 정사각형 [eqn: RMA_2 B_2 C_2 D_2], [eqn: RMA'_2 B'_2 C'_2 D'_2]에서 그림 [eqn: R_1]을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 네 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf S_n]의 값을 구하시오. [10.0점]

[eqn: {(54-36 sqrt {2} )pi} over {7}]

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim_x->inf {f(x)over{4x^3 -2}=0], [eqn: lim_x->1 {f(x)overx-1 =6]을 만족시킨다. [eqn: f(x)=0]의 한 실근이 [eqn: -1]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하는 과정과 정답을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: 9]

함수 [eqn: f(x)= {cases{-x-2&`````(x<0)#x ^{2} -3x+2&`````(x GEQ 0)}}]에 대하여 [eqn: f(x)f(x-a)]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 상수 [eqn: a]의 값을 구하는 과정과 정답을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: -2], [eqn: 0], [eqn: 2]

자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=lim_n->inf {(2x)^2n+1 +ax^3 +b}over{(2x)^2n +1]가
[eqn: x= 1over2]에서 미분가능할 때, 상수 [eqn: a+b]의 합과 [eqn: x= 1over2]에서의 미분계수를 구하는 과정과 정답을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: a+b= {10} over {3}],   [eqn: f`'left( {1} over {2} right)=2]

[2016년 운정고]

[2학년 1학기 중간 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com